Gerak Harmonik pada Bandul Sederhana

Bentuk persamaan matematika gerak harmonik pada bandul sederhana, adalah sebuah bandul yang terbuat dari seutas tali panjang (l) yang digantungi beban bermassa m adalah sama dengan bentuk persamaan gerak harmonik pada pegas yaitu:

X = A cos (ωt)

A= simpangan maksimum

Gerak harmonik selalu dipengaruhi oleh sebuah gaya yang besarnya sebanding dengan simpangan benda dan arahnya selalu menjauhi kedudukan setimbangnya. Kedudukan setumbanh harmonik pada bandul sederhana adalah titik b. Gaya yang menunju titk b adalah gaya mg sin ɵ, dengan ɵ adalah sudut simpangan gerak harmonik. Besarnya simpangan arah mendatar adalah x, dengan:

x = l Sin  Ѳ→ Sin Ѳ = x/l

gaya yang menuju kedudukan setimbangnya adalah:

F = -mg sin Ѳ, dengan sin Ѳ =  x/l

F = -mg  x/l

Telah diketahui bahwa besarnya gaya (F) sebanding dengan simpangannya (x) dan sebanding dengan konstanta gaya (k).

F = -kx dan F = -mg  x/l

k =mg/l, dengan k = mω²

akan diperoleh:

mg/l= mω² _→ ω² =  g/l

Maka:

ω= √g/l

Hubungan Usaha dan Energi

Sebuah gaya F bekerja pada benda bersama m, yang sedang bergerak dengan kecepatan v₁.

Untuk komponen arah horizontal, sebuah benda bermassa m mula-mula bergerak dengan kecepatan v₁ pada bidang datar yang licin. Kemudian benda tersebut didorong dengan sebuah gaya F dalam arah mendatar searah dengan v₁. Setelah gaya F bekerja selama waktu t tertentu, benda menempuh jarak s. oleh karena F konstan, benda akan memiliki percepatan konstan sehingga benda bergerak lurus berubah beraturan dan berlaku persamaan:                               v₂ = v₁ + at

a = v₂-v₁/t                                                         (1)

s = v₁ t + ½ a t² = v₁ t + ½  (v₂-v₁/t) t²

s = v₁ t + ½ ( v₂ - v₁ ) t = ½ ( v₂ + v₁ ) t              (2)

usaha yang dilakukan oleh besaran gaya F adalah:

W = Fs = m a                    (3)

Substitusikan nilai a pada persamaan (1) dan nilai s pada persamaan (2) ke dalam persamaan (3) sehingga diperoleh:

W = m (v₂-v₁/t)  ½ ( v₂ + v₁ ) t

Fs = ½ mv₂² - ½ mv₁²

Fs = m ( v₂ - v₁ ) ½ ( v₂ + v₁ )                                 (4-5)

Berdasarkan pengertian bahwa energi adalah kemampuan melakukan usaha maka besaran (½ m v²) merupakan energi, yaitu energi kinetik atau energi gerak.

Ek = ½ m v²                                  (4-6)

Dengan:

Ek = Energi kinetik (J)

m = massa benda (kg)

v = kecepatan (m/s)

Hal tersebut menunjukan bahwa semua benda yang bergerak memiliki energi kinetik yang besarnya bergantung pada massa dan kecepatannya. Oleh karena ½ m v₂² = Ek₂ dan ½ m v₁² = Ek₁, maka dari persamaan (4-6) diperoleh hubungan:

W = Ek₂ – Ek₁

W = Fs = ΔEk

W =ΔEk = ½ m v₂² - ½ m v₁²